Question

在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸的正半軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．點A和點B間的距離為2，若將二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象沿y軸向上平移3個單位時，則它恰好過原點，且與x軸兩交點間的距離為4．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的表達式；
（2）在二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點為D，在x軸上是否存在這樣的點F，使得∠DFB=∠DCB？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)平移后的函數(shù)圖象過原點且與x軸兩交點間的距離為4，可得平移后的函數(shù)圖象與x軸兩交點坐標為（0，0），（4，0）或（0，0），（-4，0），再由它與x軸兩交點間的距離為2，且點A 在點B的左側(cè)，可得A、B的坐標，代入三點坐標可得拋物線解析式；
（2）先求出直線AC的函數(shù)解析式，直線AC與直線x=2的交點P就是到B、C兩點距離之差最大的點，將x=2代入，求出y，繼而可得點P坐標；
（3）拋物線y=-x²+4x-3的頂點D的坐標為（2，1），設(shè)對稱軸與x軸的交點為點E，從而將問題轉(zhuǎn)化為求點EF的坐標，求出EF的長度，即可得出F的坐標．

解答：解：（1）∵平移后的函數(shù)圖象過原點且與x軸兩交點間的距離為4，
∴平移后的函數(shù)圖象與x軸兩交點坐標為（0，0），（4，0）或（0，0），（-4，0），
∴它的對稱軸為直線x=2或x=-2．
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸的正半軸交于A、B兩點，
∴拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于直線x=2對稱，
∵它與x軸兩交點間的距離為2，且點A 在點B的左側(cè)．
∴其圖象與x軸兩交點的坐標為A（1，0）、B（3，0）．
由題意知，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過C（0，-3），
∴設(shè)y=ax²+bx-3，
∴

a+b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得：

a=-1 b=4

．，
∴二次函數(shù)的表達式為y=-x²+4x-3．

（2）∵點B關(guān)于直線x=2的對稱點為A（1，0）
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
∴

0=m+n n=-3

，
解得：

m=3 n=-3

，
∴直線AC的解析式為y=3x-3，
直線AC與直線x=2的交點P就是到B、C兩點距離之差最大的點，
當x=2時，y=3，
∴點P的坐標為（2，3）．

（3）在x軸上存在這樣的點F，使得∠DFB=∠DCB．
拋物線y=-x²+4x-3的頂點D的坐標為（2，1），
設(shè)對稱軸與x軸的交點為點E，
，
在Rt△DEB中，∵DE=BE=1，
∴∠DBE=45°，
在Rt△OBC中，∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，∵DB=

2

，BC=3

2

，
∴tan∠DCB=

DB

BC

=

1

3

=tan∠DFB，
∵DE⊥x軸，DE=1，
∴EF=3，
∵點E（2，0），
∴符合題意的點F的坐標為F₁（-1，0）或F₂（5，0）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了二次函數(shù)的幾何變換，解直角三角形及待定系數(shù)法的運用，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運用，在無法下手求解的時候可先畫圖，通過圖形找靈感，難度較大．