Question

如圖，OA為第一象限的角平分線，點E在y軸上，∠OEF=∠AOF，F(xiàn)E⊥OF交OA于M點．求證：EM=2OF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作EP⊥OA，延長EP，OF，交于點Q，由OA為第一象限角平分線，得到∠AOE=45°，即三角形EPO為等腰直角三角形，即EP=OP，利用兩對角相等的兩三角形相似得到三角形OMF與三角形PME相似，得到∠PEM=∠POQ，再由一對直角相等，EP=OP，得到三角形EPM與三角形POQ全等，得到EM=OQ，由已知角相等，等量代換得到∠OEF=∠PEM，再由一對直角相等，夾邊EF為公共邊，利用ASA得到三角形EFO與三角形EFQ全等，得到OF=FQ，即OQ=2OF，等量代換即可得證．

解答：證明：作EP⊥OA，延長EP，OF，交于點Q，
∵OA為第一象限得角平分線，
∴∠AOE=45°，
∴△OPE為等腰直角三角形，
∴EP=OP，
∵EF⊥OF，
∴∠EFO=∠EPM=90°，
∵∠OMF=∠EMP，
∴∠POQ=∠PEM，
∵∠OEF=∠POQ，
∴∠OEF=∠PEM，
在△OEF和△QEF中，

∠OEF=∠QEF EF=EF ∠EFO=EFQ=90°

，
∴△OEF≌△QEF（ASA），
∴OF=FQ，即OQ=2OF，
在△POQ和△PEM中，

∠POQ=∠PEM OP=EP ∠OPQ=∠EPM=90°

，
∴△POQ≌△PEM（ASA），
∴EM=OQ，
則EM=2OF．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．