Question

如圖，點(diǎn)O是已知線段AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O交線段AB于點(diǎn)C，以線段OB為直徑的圓與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)為D，過點(diǎn)A作AB的垂線交BD的延長線于點(diǎn)M．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若BC，BD的長度是關(guān)于x的方程x²-6x+8=0的兩個(gè)根，求⊙O的半徑；
（3）在上述條件下，求線段MD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD．
∵OB是直徑，
∴∠ODB=90°，
∴BD是圓的切線．

（2）解：求得方程的兩個(gè)根分別是x=2或x=4，
則BC=2，BD=4；
∵BD²=BC•BA，
∴BA=8，AC=BA-BC=6，
∴OC=AC=3．
∴圓O的半徑是3．

（3）解：設(shè)MD=x，則MA=x．
根據(jù)（2）得：AB=8．
根據(jù)勾股定理，得x²+8²=（x+4）²，
∴x=6．
分析：（1）連接OD，只需證明OD⊥BM，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可證明；
（2）根據(jù)方程的兩個(gè)根確定BC，BD的長，再根據(jù)切割線定理求得圓的半徑；
（3）根據(jù)切線長定理和勾股定理列方程計(jì)算．
點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、切線的性質(zhì)定理及其判定定理、勾股定理．