Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，CF⊥AF，且CF=CE．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若，求的值

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）首先連接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圓周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，則可證得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可證得CF是⊙O的切線；

（2）由垂徑定理可得CE=DE，即可得S_△CBD=2S_△CEB，由△ABC∽△CBE，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，易求得△CBE與△ABC的面積比，繼而可求得的值．

試題解析：（1）證明：連接OC．

∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，

∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．

∵∠BOC=2∠BAC，

∴∠BOC=∠BAF．

∴OC∥AF．

∴CF⊥OC．

∴CF是⊙O的切線．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，

∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．

∴S_△CBD=2S_△CEB，∠BAC=∠BCE，

∴△ABC∽△CBE．

∴==（sin∠BAC）²==．

∴=．

考點: 1.切線的判定；2.圓周角定理；3.相似三角形的判定與性質(zhì).