Question

如圖，正方形ABCD與正方形CEFG（邊長不等），B、C、F三點共線，連接BE交CD于M，連接DG交BE、CE、CF分別于N、P、Q，下面結論正確的有（　�。�
①BE=DG；②BM=DQ；③CM=CP；④∠BNQ=90°．

Answer 1

分析：根據正方形的性質可得BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，然后求出∠BCE=∠DCG，再利用“邊角邊”證明△BCE和△DCG全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DG，判定①正確；全等三角形對應角相等可得∠CBE=∠CDG，然后證明△BCM和△DCQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得BM=DQ，CM=CQ，判定②正確；根據∠CGP+∠CPG=90°，∠CDQ+∠CQD=90°，然后求出∠CQD≠CPG，從而得到CQ≠CP，所以，CM≠CP，判定③錯誤；根據∠CBE+∠BMC=90°推出∠CDG+∠DMN=90°，然后求出∠DNM=90°，即可得到∠BNQ=90°．

解答：解：在正方形ABCD與正方形CEFG中，
BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，
即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，

BC=CD ∠BCE=∠DCG CE=CG

，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG，∠CBE=∠CDG，故①正確；
在△BCM和△DCQ中，

∠CBE=∠CDG BC=DC ∠BCM=∠DCQ=90°

，
∴△BCM≌△DCQ（ASA），
∴BM=DQ，CM=CQ，故②正確；
在Rt△CPG中，∠CGP+∠CPG=90°，
在Rt△CDQ中，∠CDQ+∠CQD=90°，
∵正方形ABCD與正方形CEFG的邊長不等，
∴∠CDQ≠∠CGP，
∴∠CQD≠CPG，
∴CQ≠CP，
∴CM≠CP，故③錯誤；
∵∠CBE+∠BMC=90°，∠CBE=∠CDG，∠BMC=∠DMN（對頂角相等），
∴∠CDG+∠DMN=90°，
∴∠DNM=90°，
∴∠BNQ=180°-∠DNM=180°-90°=90°，故④正確，
綜上所述，正確的結論有①②④共3個．
故選B．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，綜合題但難度不大，熟練掌握正方形的性質，準確識圖找出全等三角形并求出全等的條件是解題的關鍵，也是本題的難點．