Question

2．如圖，把等腰Rt△ABC沿AC方向平移到等腰Rt△A′B′C′的位置時，它們重疊的部分的面積是Rt△ABC面積的$\frac{1}{4}$．若AB=$\sqrt{2}$cm，則它移動的距離AA′=1cm．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BAC=∠BCA=45°，AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，再根據(jù)平移的性質(zhì)得∠BAC=∠BCA=∠B′A′C′=∠B′C′A′=45°，AA′等于平移的距離，于是可判斷△PA′C′為等腰直角三角形，利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$PA′²=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$，解得PA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則A′C=$\sqrt{2}$PA′=1，然后計算AC-A′C．

解答 解：∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∵等腰Rt△ABC沿AC方向平移得到等腰Rt△A′B′C′，
∴∠BAC=∠BCA=∠B′A′C′=∠B′C′A′=45°，AA′等于平移的距離，
∴△PA′C′為等腰直角三角形，
∴S_△PA′C′=$\frac{1}{2}$PA′²=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$，
∴PA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A′C=$\sqrt{2}$PA′=1，
∴AA′=AC-A′C=2-1=1，
即它移動的距離AA′為1cm．
故答案為1．

點評 本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行且相等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．