【題目】已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D為平面內(nèi)的任意一點(diǎn),且滿足CD=AC,若△ADB是以AD為腰的等腰三角形,則∠CDB的度數(shù)為_____.
【答案】45°或135°.
【解析】
當(dāng)△ADB是以AD為腰的等腰三角形,可以分兩種情況進(jìn)行討論:①AD=AB,②AD=BD;
①當(dāng)AD=AB時,又分兩種情況:
當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上方時,如圖1所示.由△ACD為等邊三角形,得∠CAD=60°,根據(jù)角的關(guān)系可得結(jié)論;
當(dāng)點(diǎn)D在AC邊下方時,如圖2所示.同理可得結(jié)論;
②當(dāng)AD=BD時又分兩種情況:
當(dāng)點(diǎn)D在BC的上方,如圖3所示.作輔助線,證明∠EDA=∠ADC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得:AF=AE=AB=AC,利用直角三角形30°角的判定得:Rt△AFC中,∠ACF=30°,從而得出結(jié)論;
當(dāng)D在BC的下方時,如圖4,同理構(gòu)建矩形AEFC,由CF=AB=AC=CD,得Rt△CFD中,∠CDF=30°,可得結(jié)論.
解:①當(dāng)AD=AB時,
∵AB=AC,CD=AC,AD=AB,
∴AC=AD=CD,
∴△ACD為等邊三角形.
當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上方時,如圖1所示.
∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,△ACD為等邊三角形,
∴∠BAC=90°,∠CAD=60°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=(180°﹣∠BAD)=15°,
∴∠CDB=∠ADC﹣∠ADB=60°﹣15°=45°;
當(dāng)點(diǎn)D在AC邊下方時,如圖2所示.
∵∠BAC=90°,∠CAD=60°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=30°.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=(180°﹣∠BAD)=75°,
∴∠CDB=∠ADB+∠ADC=75°+60°=135°.
②當(dāng)AD=BD時,
當(dāng)點(diǎn)D在BC的上方,如圖3所示.
過D作DE⊥AB于E,過A作AF⊥CD于F,
∴∠BED=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BED=∠BAC,
∴ED∥AC,
∴∠EDA=∠DAC,
∵AD=CD,
∴∠ADC=∠DAC,
∴∠EDA=∠ADC,
∴AF=AE=AB=AC,
Rt△AFC中,∠ACF=30°,
∴∠ADC==75°,
∴∠ADB=2∠ADE=2∠ADC=150°,
∴∠CDB=360°﹣150°﹣75°=135°;
當(dāng)D在BC的下方時,如圖4,
過D作DE⊥AC于E,過C作CF⊥ED于F,
∴∠AEF=∠BAC=∠EFC=90°,
∴四邊形AEFC是矩形,
∴CF=AE,
∵AD=BD,DE⊥AB,
∴AE=AB,∠ADE=∠BDE,
∴CF=AB=AC=CD,
Rt△CFD中,∠CDF=30°,
∵AC∥ED,
∴∠CAD=∠ADE,
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠ADC,
∴∠CDA=∠ADE=∠CDF=15°,
∴∠ADB=30°,
∴∠CDB=45°.
綜上所述,則∠CDB的度數(shù)為45°或135°;
故答案為:45°或135°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=4,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在AB上,FB=2,P是矩形上一動點(diǎn).若點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā),沿F→A→D→C的路線運(yùn)動,當(dāng)∠FPE=30°時,FP的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生對博鰲論壇會的了解情況,某中學(xué)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果記作“非常了解,了解,了解較少,不了解.”四類分別統(tǒng)計,并繪制了下列兩幅統(tǒng)計圖(不完整).請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)此次共調(diào)查了______名學(xué)生;扇形統(tǒng)計圖中所在的扇形的圓心角度數(shù)為______;
(2)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校共有1600名學(xué)生,請你估計對博鰲論壇會的了解情況為“非常了解”的學(xué)生約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B、C三人玩籃球傳球游戲,游戲規(guī)則是:第一次傳球由A將球隨機(jī)地傳給B,C兩人中的某一人,以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人.
(1)求兩次傳球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次傳球后,球恰在A手中的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著新能源汽車的發(fā)展,某公交公司將用新能源公交車淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴(yán)重的燃油公交車,計劃購買A型和B型新能源公交車共10輛,若購買A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需300萬元;若購買A型公交車2輛,B型公交車1輛,共需270萬元,
(1)求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元?
(2)預(yù)計在該條線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為80萬人次和100萬人次.若該公司購買A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過1000萬元,且確保這10輛公交車在該線路的年均載客量總和不少于900萬人次,則該公司有哪幾種購車方案?哪種購車方案總費(fèi)用最少?最少總費(fèi)用是多少?
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【題目】九(1)班開展了“讀一本好書”的活動,班委會對學(xué)生閱讀書籍的情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,問卷設(shè)置了“小說”“戲劇”“散文”“其他”四個類別,每位同學(xué)僅選一項(xiàng).根據(jù)調(diào)査結(jié)果繪制了不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖.
類別 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
小說 | a | 0.5 |
戲劇 | 4 | |
散文 | 10 | 0.25 |
其他 | 6 | |
合計 | b | 1 |
根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問題:
(1)直接寫出:a= .b= m= ;
(2)在調(diào)查問卷中,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)選擇了“戲劇”類,現(xiàn)從中任意選出2名同學(xué)參加學(xué)校的戲劇社團(tuán),請求選取的2人恰好是甲和乙的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連接DE、CE.
(1)求證:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(操作發(fā)現(xiàn))
如圖①,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.
(1)請按要求畫圖:將△ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′,連接BB′;
(2)在(1)所畫圖形中,∠AB′B=____.
(問題解決)
(3)如圖②,在等邊三角形ABC中,AC=7,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.
小明同學(xué)通過觀察、分析、思考,對上述問題形成了如下想法:
想法一:將△APC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′B,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系;
想法二:將△APB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.…
請參考小明同學(xué)的想法,完成該問題的解答過程.(一種方法即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,對稱軸為直線x=1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0)、C(0,3)兩點(diǎn),與x軸的另一個交點(diǎn)為B,點(diǎn)D在y軸上,且OB=3OD
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)設(shè)該拋物線上的一個動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t
①當(dāng)0<t<3時,求四邊形CDBP的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
②點(diǎn)Q在直線BC上,若以CD為邊,點(diǎn)C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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