Question

已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以點D為圓心，DA長為半徑的⊙D與AB相切于A，與BC交于點F，過點D作DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：四邊形ABED為矩形；

（2）若AB=4， ，求CF的長．

Answer 1

（1）證明：∵⊙D與AB相切于點A，∴AB⊥AD。

∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。

∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。

∴四邊形ABED為矩形。

（2）解：∵四邊形ABED為矩形，∴DE=AB=4。

∵DC=DA，∴點C在⊙D上。

∵D為圓心，DE⊥BC，∴CF=2EC。

∵，設(shè)AD=3k（k＞0）則BC=4k�！郆E=3k，EC=BC－BE=4k－3k=k，DC=AD=3k。

由勾股定理得DE²＋EC²=DC²，即4²＋k²=（3k）²，∴k²=2。

∵k＞0，∴k=�！郈F=2EC=2。