Question

已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-2mx+（m-

1

2

）²+

7

4

=0的兩個(gè)根．
（1）當(dāng)m=2和m＞2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形并說明理由．
（2）若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P、Q，PQ=1，且AB＜CD，求AB、CD的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，AD=BC=2，求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是tan∠BDC和tan∠BCD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)m=2和m＞2時(shí)，方程根的情況來進(jìn)一步判斷AB和CD的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合其位置關(guān)系，判斷該四邊形的形狀；
（2）根據(jù)梯形的對(duì)角線的中點(diǎn)所連接的線段等于上下底差的一半，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的方程，從而求出方程的兩個(gè)根；
（3）根據(jù)梯形的邊之間的關(guān)系，求得這兩個(gè)角的度數(shù)，再根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值寫出這個(gè)一元二次方程．

解答：解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，x²-4x+4=0．
∵△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
∴AB=CD，此時(shí)AB∥CD，則該四邊形是平行四邊形；
當(dāng)m＞2時(shí)，△=m-2＞0，
又∵AB+CD=2m＞0，
AB•CD=（m-

1

2

）²+

7

4

＞0，
∴AB≠CD．
該四邊形是梯形．

（2）根據(jù)三角形的中位線定理可以證明：連接梯形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)的線段等于梯形的上下底的差的一半．
則根據(jù)PQ=1，得CD-AB=2．
根據(jù)（1）中的AB+CD和AB•CD的式子得（2m）²-4（m²-m+2）=4，
∴m=3．
當(dāng)m=3時(shí)，則有x²-6x+8=0，
∴x=2或x=4，
即AB=2，CD=4．

（3）根據(jù)該梯形是等腰梯形，平移一腰，則得到等邊△BEC．
∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．
∵tan∠BDC+tan∠BCD=

4

3

3

，
tan∠BDC•tan∠BCD=1．
∴所求作的方程是y²-

4

3

3

y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：注意平行四邊形的梯形的概念的區(qū)別；能夠證明梯形的對(duì)角線中點(diǎn)所連線段等于上下底差的一半；能夠根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系由已知方程寫出兩根之和，兩根之積．反過來能夠根據(jù)兩根之和，兩根之積寫出一個(gè)方程．