Question

19．如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，已知AD=8，AB=10，∠ABD=45°，把平行四邊形ABCD繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)Q，則線段MQ的長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為18-5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如作AP₁⊥BD垂足為P₁，當(dāng)AP₁旋轉(zhuǎn)到與射線AD的重合時(shí)（點(diǎn)P₁與點(diǎn)E重合），ME就是MQ最小值，當(dāng)點(diǎn)P₂與B重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)到與DA的延長(zhǎng)線重合時(shí)（點(diǎn)P₂與點(diǎn)F重合），此時(shí)MF就是MQ最大值，分別求出MQ的最大值與最小值即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作AP₁⊥BD垂足為P₁，
∵∠DBA=45°，AB=10，
∴∠P₁AB=∠DBA=45°，AP₁=P₁B=5$\sqrt{2}$，
∵AM=MD=$\frac{1}{2}$AD=4，
當(dāng)AP₁旋轉(zhuǎn)到與射線AD的重合時(shí)（點(diǎn)P₁與點(diǎn)E重合），ME就是MQ最小值=5$\sqrt{2}$-4，
當(dāng)點(diǎn)P₂與B重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)到與DA的延長(zhǎng)線重合時(shí)（點(diǎn)P₂與點(diǎn)F重合），此時(shí)MF就是MQ最大值=AM+AF=14，
∴MQ的最大值與最小值的差=14-（5$\sqrt{2}$-4）=18-5$\sqrt{2}$．
故答案為18-5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意找到MQ最大值與最小值的位置是解題的關(guān)鍵．