Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，OA比OC大2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O′交x軸于點(diǎn)D，過(guò)D作DF⊥EA．交AE于點(diǎn)F．
（1）求OA、OC的長(zhǎng)及點(diǎn)O′的坐標(biāo)；
（2）求證：DF為⊙O′的切線；
（3）小明在解答本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形，由此他斷定“直線BC上一定存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P，使△AOP也是等腰三角形，且點(diǎn)P一定在⊙O′外”．你同意他的看法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在矩形OABC中，利用邊長(zhǎng)之間的關(guān)系和面積公式即可求得OC，OA的長(zhǎng)，再利用已知結(jié)合O′是OE的中點(diǎn)得出答案；
（2）連接O′D，通過(guò)證明△OCE≌△ABE得到DF⊥O′D，所以DF為⊙O′切線；
（3）分兩種情況進(jìn)行分析：①當(dāng)AO=AP；②當(dāng)OA=OP，從而得到在直線BC上，除了E點(diǎn)外，既存在⊙O′內(nèi)的點(diǎn)P，又存在⊙O′外的點(diǎn)P₂、P₃、P₄，它們分別使△AOP為等腰三角形．

解答 （1）解：在矩形OABC中，設(shè)OC=x，則OA=x+2
∴x（x+2）=15
∴x₁=3，x₂=-5
∵x₂=-5（不合題意，舍去）
∴OC=3，OA=5；
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴EC=$\frac{5}{2}$，
∵O′是OE的中點(diǎn)，
∴O′（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$）；

（2）證明：如圖，連接O′D；
在△0CE和△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CO=AB}\\{∠OCB=∠ABC=90°}\\{CE=BE=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴△0CE≌△ABE（SAS），
∴EA=EO，
∴∠1=∠2；
∵在⊙O′中，O′O=O′D，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴O′D∥AE；
∵DF⊥AE，
∴DF⊥O′D，
∵點(diǎn)D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑，
∴DF為⊙O′切線；

（3）解：不同意．理由如下：
①當(dāng)A0=AP時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P₁和P₄兩點(diǎn)
過(guò)P₁點(diǎn)作P₁H⊥OA于點(diǎn)H，P₁H=0C=3；
∵AP_l=OA=5，
∴AH=4，
∴OH=l，
則點(diǎn)P₁（1，3），同理可得：P₄（9，3）；
②當(dāng)OA=OP時(shí)，
同上可求得P₂（4，3），P₃（-4，3），
故在直線BC上，除了E點(diǎn)外，既存在⊙O′內(nèi)的點(diǎn)P₁，又存在⊙O′外的點(diǎn)P₂、P₃、P₄，它們分別使△AOP為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了矩形的性質(zhì)和圓中的有關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的判定以及一元二次方程在幾何圖形中的運(yùn)用．要熟練掌握這些性質(zhì)才能靈活運(yùn)用．