Question

如圖所示，在四邊形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，易證∠BAD=∠CAD′，即可證明△BAD≌△CAD′，可得BD=CD′，∠DAD′=90°，根據勾股定理可求得DD'的值，再根據勾股定理可求得CD'的值，即可解題．

解答：解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，

BA=CA ∠BAD=∠CAD′ AD=AD′

，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′，∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′=

AD2+(AD′)2

=3

2

，∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得CD′=

DC2+(DD′)2

=

22

，
∴BD=CD′=

22

．
故答案為：

22

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了直角三角形中勾股定理運用，本題中求證△BAD≌△CAD′是解題的關鍵．