Question

如圖AB是⊙O的直徑，C是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為1，則PC+PD的最小值為（ ）

A．1
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，則根據(jù)垂徑定理得：E在⊙O上，連接EC交AB于P′，作直徑EF，連接DP′，CP′CF，
則若P在P′時(shí)，DP+CP最小，根據(jù)解直角三角形求出CE，根據(jù)軸對(duì)稱求出DP′+CP′=CE即可．
解答：解：
作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，則根據(jù)垂徑定理得：E在⊙O上，連接EC交AB于P′，作直徑EF，連接DP′，CP′CF，
則若P在P′時(shí)，DP+CP最小，
∵C是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，
∴∠F=×（60°+30°）=45°，
∵EF為直徑，
∴∠ECF=90°，EF=2，
即sin45°=，
∴CE=，
∵D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，
∴DP′=EP′，
∴DP+CP=CE，
即DP+CP=，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．