Question

20．在等腰△ABC中，頂角∠A=100°，作∠B的平分線交AC于點(diǎn)E，求證：AE+BE=BC．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過(guò)△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)BE到F，使BF=BC，連接FC，

∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，連接EF′，
在△FCE與△F′CE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF′}\\{∠F'CE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE與△BF′E中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BF'E}\\{∠ABE=∠F'BE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△F′BE，
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴BC=BE+EF=BE+AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．