Question

如圖，已知正方形ABCD，點E是邊AB的中點，點O是線段AE上的一個動點（不與A、E重合），以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與邊AD相交于點M，過點M作⊙O的切線交DC于點N，連接OM、ON、BM、BN．記△MNO、△AOM、△DMN的面積分別為S₁、S₂、S₃，則下列結(jié)論不一定成立的是（　�。�

A．S₁＞S₂+S₃       B．△AOM∽△DMN   C．∠MBN=45°    D．MN=AM+CN

　

Answer 1

A【考點】切線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）如圖作MP∥AO交ON于點P，當(dāng)AM=MD時，求得S₁=S₂+S₃，

（2）利用MN是⊙O的切線，四邊形ABCD為正方形，求得△AOM∽△DMN．

（3）作BP⊥MN于點P，利用Rt△MAB≌Rt△MPB和Rt△BPN≌Rt△BCN來證明C，D成立．

【解答】解：（1）如圖，作MP∥AO交ON于點P，

∵點O是線段AE上的一個動點，當(dāng)AM=MD時，

S_梯形ONDA=（OA+DN）•AD

S_△MNO=S_△MOP+S_△MPN=MP•AM+MP•MD=MP•AD，

∵（OA+DN）=MP，

∴S_△MNO=S_梯形ONDA，

∴S₁=S₂+S₃，

∴不一定有S₁＞S₂+S₃，

（2）∵M(jìn)N是⊙O的切線，

∴OM⊥MN，

又∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，

∴∠AOM=∠DMN，

在△AMO和△DMN中，

，

∴△AOM∽△DMN．

故B成立；

（3）如圖，作BP⊥MN于點P，

∵M(jìn)N，BC是⊙O的切線，

∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，

∵AD∥BC，

∴∠CBM=∠AMB，

∴∠AMB=∠PMB，

在Rt△MAB和Rt△MPB中，

∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）

∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，

在Rt△BPN和Rt△BCN中，

∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）

∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，

∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，

MN=MP+PN=AM+CN．

故C，D成立，

綜上所述，A不一定成立，

故選：A．

【點評】本題主要考查了圓的切線及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線利用三角形全等證明．