Question

3．如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是任意一點(diǎn)，∠BDA+∠ABC=180°
（1）如圖1，求證：∠BCA=∠CDA；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是AC邊垂直平分線上的點(diǎn)時(shí)，若BD=4，AC=6$\sqrt{7}$，求點(diǎn)D到AC所在直線的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，只要證明A、C、B、D四點(diǎn)共圓即可．
（2）如圖2中，作DE⊥AC于E，AM⊥BD于M、AN⊥CD于N，設(shè)DM=DN=x，AM=AN=y，列出方程組解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB+∠ABC=180°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∴A、C、B、D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADC=∠ABC=∠ACB．
（2）如圖2中，作DE⊥AC于E，AM⊥BD于M、AN⊥CD于N，

∵A、C、B、D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADM=∠ACB=∠ADM，
∴AM=AN，
在△AMD和△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△AND，
∴DM=DN，設(shè)DM=DN=x，AM=AN=y，
在△ACN和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{AN=AM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△ABM，
∴CN=BM，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x+4）^{2}+{y}^{2}=（6\sqrt{7}）^{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（x+x+4）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3\sqrt{19}}\end{array}\right.$，（x＜O，y＜O已經(jīng)舍棄）．
∵$\frac{1}{2}$•AC•DE=$\frac{1}{2}$•DC•AN，
∴DE=$\frac{DC•AN}{AC}$=$\frac{14×3\sqrt{19}}{6\sqrt{7}}$=$\sqrt{133}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用方程組解決問(wèn)題，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．