Question

18．已知：如圖，BE、BF分別是∠ABC與它的鄰補(bǔ)角∠ABD的平分線，AE⊥BE，垂足為點(diǎn)E，AF⊥BF，垂足為點(diǎn)F，EF分別交邊AB、AC于點(diǎn)M和N．求證：
（1）四邊形AFBE是矩形；
（2）MN=$\frac{1}{2}$BC．

Answer 1

分析 （1）由BE、BE是角平分線可得∠EBF是90°，進(jìn)而由條件中的兩個(gè)垂直可得兩個(gè)直角，可得四邊形AEBF是矩形；
（2）由矩形的F質(zhì)可得∠2=∠5進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)可得∠1=∠5，可得ME∥BC，進(jìn)而可得N為AC中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求出即可．

解答 證明：（1）∵BE、BF分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AE⊥BE，E為垂足，AF⊥BF，F(xiàn)為垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四邊形AEBF為矩形；

（2）∵四邊形AEBF為矩形，
∴BM=MA=ME，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5，
∴ME∥BC，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴N為AC的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，平行線的判定的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：有3個(gè)角是直角的四邊形是矩形；矩形的對(duì)角線平分且相等．