Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），與x軸相交于另一點(diǎn)B（3，0），將點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位得點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)M在線段OC上，平面內(nèi)有一點(diǎn)Q，使得四邊形ABMQ為菱形，求點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在線段OC上，從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線AO于D點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動(dòng)）；
①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)的圖象上時(shí)，求OP的長；
②若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，直接寫出此刻t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，利用二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），B（3，0），分別代入求出a，b，c的值即可；
（2）分M是AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)；M在B點(diǎn)左邊并且BM=AB；M在B點(diǎn)右邊并且BM=AB；三種情況討論可得點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）①過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，根據(jù)DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進(jìn)而求出OP的長；
②分兩種情況討論，求出t的值即可．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），B（3，0），
∴

c=0 a+b+c=2 9a+3b+c=0

，
解得

a=-1 b=3 c=0

．
故二次函數(shù)解析式為：y=-x²+3x；

（2）M是AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)是（1，0）（舍去）；
M在B點(diǎn)左邊并且BM=AB，點(diǎn)M坐標(biāo)是（3-2

2

，0）；
M在B點(diǎn)右邊并且BM=AB，點(diǎn)M坐標(biāo)是（3+2

2

，0）；
故點(diǎn)M坐標(biāo)為（3-2

2

，0）或（3+2

2

，0）；

（3）①由已知可得C（6，0）
如圖：過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴

OP

PD

=

OH

AH

，
即

a

PD

=

1

2

，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函數(shù)y₁=-x²+3x的圖象上，
∴a=

7

9

；
即OP=

7

9

．
②直線AC與以DE為直徑的⊙M相切，此刻t的值為t=

168-12 29

167

或t=

168+12 29

167

．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)已知分類討論得出t的值是解題關(guān)鍵．