Question

如圖，設(shè)半圓的圓心O在直角△ABC的斜邊AB上，且與兩直角邊相切于D、E，若△ABC的面積為S，斜邊長(zhǎng)為c，則圓的半徑為

 

．

Answer 1

分析：連OD，OE，OC，根據(jù)切線性質(zhì)得OD⊥AC，OE⊥BC，設(shè)AC=b，BC=a，OD=OE=R，則S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC，即

1

2

bR+

1

2

aR=S，
得到a+b=

2S

R

，再利用勾股定理得到a+b=

c2+4S

，這樣就可求得R的值．

解答：解：連OD，OE，OC，如圖，
∵D，E為切點(diǎn)，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
設(shè)AC=b，BC=a，OD=OE=R，
∵S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC，
∴

1

2

bR+

1

2

aR=S，
∴a+b=

2S

R

，
又∵a²+b²=c²，
∴（a+b）²=c²+2ab，
∴a+b=

c2+4S

，
∴

2S

R

=

c2+4S

，
∴R=

2S

c2+4S

．
故答案為：

2S

c2+4S

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線，過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等，也考查了三角形的面積公式和勾股定理以及代數(shù)式的變形能力．