Question

如圖，矩形ABCD中，AB=2

2

，AD=4，M點為線段BC上一個動點，連AM，N點為線段AM上一點，若△NCD為等腰三角形，且滿足條件的N點有且只有三個，則線段BM的長為

 

．

Answer 1

考點：矩形的性質,等腰三角形的判定

專題：動點型

分析：若△NCD為等腰三角形，且滿足條件的N點有且只有三個，則這三個點分別是CD的垂直平分線與AM的交點，以C為圓心以CD長為半徑的圓與AM的交點，以D為圓心DC長為半徑的圓與AM的切點，所以當DN=DC時，DN⊥AM，根據勾股定理求得AN=2

2

，然后求得△ABM≌△DNA，根據全等三角形的對應邊相等得出BM=AN=2

2

．

解答：解：若△NCD為等腰三角形，且滿足條件的N點有且只有三個，則這三個點分別是CD的垂直平分線與AM的交點，以C為圓心以CD長為半徑的圓與AM的交點，以D為圓心DC長為半徑的圓與AM的切點，
所以當DN=DC時，DN⊥AM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∵CD=DN，
∴AB=DN，
∴∠DAN=∠AMB，
∵∠B=∠AND=90°，
在△ABM與△DNA中

∠DAN=∠AMB ∠B=∠AND=90° AB=DN

∴△ABM≌△DNA（AAS），
∴BM=AN，
∵DN=DC=AB=2

2

，AD=4，
∴AN=

AD2-DN2

=2

2

，
∴BM=2

2

；
故答案為2

2

．

點評：本題考查了矩形的性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理的應用、三角形全等的判定和性質以及圓的切線的性質等，本題關鍵是當DN=DC時，DN⊥AM；