Question

11．如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，AD=5，BD=6，CD=4，將△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，則∠CDE的正弦值為$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，于是可判斷△ADE為等邊三角形，所以DE=AD=5，作CH⊥DE于H，如圖，設(shè)DH=x，則HE=DE-DH=5-x
，利用勾股定理得到4²-x²=6²-（5-x）²，解得x=$\frac{1}{2}$，則可計(jì)算出CH=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，然后根據(jù)正弦的定義求解．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E，
∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，
∵△ADE為等邊三角形，
∴DE=AD=5，
作CH⊥DE于H，如圖，設(shè)DH=x，則HE=DE-DH=5-x
在Rt△CDH中，CH²=CD²-DH²=4²-x²，
在Rt△CEH中，CH²=CE²-EH²=6²-（5-x）²，
∴4²-x²=6²-（5-x）²，解得x=$\frac{1}{2}$，
在Rt△CDH中，CH=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
∴sin∠CDH=$\frac{CH}{CD}$=$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
即sin∠CDH=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
故答案為$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是求C點(diǎn)到DE的距離．