Question

如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為2

2

，點O為斜邊AB的中點，點P為AB上任意一點，連接PC，以PC為直角邊作等腰Rt△PCD，連接BD．
（1）求證：

PC

CD

=

CO

CB

；
（2）請你判斷AC與BD有什么位置關系？并說明理由．
（3）當點P在線段AB上運動時，設AP=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，可推出△BCO為等腰直角三角形，則 

OC

BC

=

2

2

，再根據(jù)△PCD為等腰直角三角形，
得

PC

CD

=

2

2

，從而得出結論

PC

CD

=

CO

CB

；
（2）由（1）的結論可得出∠PCO=∠BCD，再由

PC

CD

=

CO

CB

，可證明△PCO∽△DCB，從而得出∠ABD=∠BAC，根據(jù)平行線的判定定理可得出AC∥BD；
（3）分兩種情況討論：①當點P在線段AO上時，作PE⊥BD，如圖1，根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，得AB=4，PO=2-x，BP=4-x，
可證明△PCO∽△DCB，得

CO

CB

=

PO

BD

，可得出BD=

2

（2-x），再得出PE=

2

2

（4-x），即可得出S與x的解析式S=

1

2

x²-3x+4；
②當點P在線段BO上時，作PE⊥BD，如圖2，可知：OP=x-2，BP=4-x，再根據(jù)△PCO∽△DCB，可得

CO

CB

=

PO

BD

，得出BD=

2

（x-2），得PE=

2

2

（4-x），即可得出S與x的解析式S=-

1

2

x²+3x-4．

解答：解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，
∴O是AB的中點
∴∠OCB=∠CBO=45°，∠COB=∠AOC=90°，
∴△BCO為等腰直角三角形，
∴

OC

BC

=

2

2

，
∵△PCD為等腰直角三角形
∴∠PCD=45°，

PC

CD

=

2

2

，
∴

PC

CD

=

CO

CB

；

（2）由（1）可知：
∴∠PCO+∠OCD=∠BCD+∠OCD=45°，
∴∠PCO=∠BCD，
又∵

PC

CD

=

CO

CB

，
∴△PCO∽△DCB，
∴∠CBD=∠AOC=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴AC∥BD；

（3）分兩種情況討論：
①當點P在線段AO上時，
作PE⊥BD，如圖1，
∵AC=BC=2

2

，△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=2AO=2BO=4，
∴PO=2-x，BP=4-x，
∵△PCO∽△DCB，
∴

CO

CB

=

PO

BD

，
即：

2

2 2

=

2-x

BD

，
∴BD=

2

（2-x），
∵∠PBE=45°，
∴PE=

2

2

（4-x），
∴S=

1

2

•

2

（2-x）•

2

2

（4-x）=

1

2

x²-3x+4，
②當點P在線段BO上時，
作PE⊥BD，如圖2，
可知：OP=x-2，BP=4-x，
∵△PCO∽△DCB
∴

CO

CB

=

PO

BD

，
即：

2

2 2

=

x-2

BD

，
∴BD=

2

（x-2），
∵∠PBE=45°，
∴PE=

2

2

（4-x），
∴S=

1

2

•

2

（x-2）•

2

2

（4-x）=-

1

2

x²+3x-4．

點評：本題考查了相似形的綜合題以及等腰三角形的性質、勾股定理和函數(shù)解析式的確定，是中考的重點，要認真把握每一個知識點及它們之間的聯(lián)系．