Question

正方形ABCD邊長為2，與函數(shù)x=

k

y

（x＞0）的圖象交于E、F兩點，其中E位于線段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如圖所示，此時，△DEF的面積為

9

8

．正方形ABCD在向右平移過程中，位于線段EF上方部分的面積記為S，設(shè)C點坐標為（t，0）
（1）求k的值；
（2）試寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）若S=2，求t的值；
（4）正方形ABCD在向右平移過程中，是否存在某些位置，沿線段EF折疊，使得D點恰好落在BC邊上？若存在，確定這些位置對應(yīng)t的值得大致范圍（誤差不超過0.1）；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用對稱性可設(shè)出E、F的兩點坐標，表示出△DEF的面積，可求出k的值；
（2）分F點在AB上和在AD上兩種情況，即2≤t≤

5

2

和t＞

5

2

兩種情況，可以表示出E、F兩點的坐標，從而表示出面積S；
（3）分2≤t≤

5

2

和t＞

5

2

兩種情況分別令S=2，求出t的值，再判斷是否符合題意即可；
（4）當(dāng)2≤t≤

5

2

時，假設(shè)位置存在，由對稱性知Rt△FDE∽Rt△DCD₁，利用相似三角形的性質(zhì)，得到關(guān)于t的方程，解出t但不在范圍之內(nèi)，當(dāng)t＞

5

2

時，假設(shè)位置存在，過F作直線FG∥x軸交CD于G，由對稱性可知Rt△FGE≌Rt△DCD₁，利用全等得到線段的關(guān)系，得到關(guān)于t的方程，利用試值法進行判斷可求出t的取值范圍．

解答：解：（1）由題設(shè)可知S_△DEF=

1

2

（2-k）²=

9

8

，
解得k=1；
（2）①如圖1，當(dāng)2≤t≤

5

2

時，
因為C點坐標為（t，0），
所以E點坐標為（t，

1

t

），
所以DE=2-

1

t

，
而F點坐標為（

1

2

，2），
所以DF=t-

1

2

，
所以S=

1

2

DE•DF=

1

2

（2-

1

t

）（t-

1

2

）=t+

1

4t

-1；

②如圖2，當(dāng)t＞

5

2

時，此時OB=t-2，
所以F點的坐標為（t-2，

1

t-2

），
所以AF=2-

1

t-2

，
所以S=

1

2

•2•（DE+AF）=

1

2

•2•（2-

1

t

+2-

1

t-2

）=4-

1

t

-

1

t-2

；

（3）當(dāng)2≤t≤

5

2

時，DE和DF隨t的增大而增大，S也類似，
故當(dāng)t=

5

2

時S有最大值為

8

5

＜2，
所以S=2只可能發(fā)生在t＞

5

2

時，令4-

1

t

-

1

t-2

=2，
解得t=

3+ 5

2

；
（4）①如圖3，當(dāng)2≤t≤

5

2

時，假設(shè)位置存在，由對稱性知Rt△FDE∽Rt△DCD₁，
因為DE=D₁E，
則有

FD

DE

=

DC

D1C

，
其中D₁C=

DE2-EC2

=

(2- 1 t )2-( 1 t )2

，
整理得：t（t-1）=4，
解得t=

1+ 17

2

＞

5

2

，與假設(shè)矛盾，
所以當(dāng)2≤t≤

5

2

時，不存在；

②如圖4，當(dāng)t＞

5

2

時，假設(shè)位置存在，過F作直線FG∥x軸交CD于G，
由對稱性可知Rt△FGE≌Rt△DCD₁，DE=D₁E，所以GE=D₁C，
而GE=

1

t-2

-

1

t

，整理可得t（t-1）（t-2）²=1，
設(shè)y=t（t-1）（t-2）²，當(dāng)t＞2時，y隨t的增大而增大，
取t=2.5，則y=0.9375＜1，取t=2.6，則y=1.4976＞1，
利用試值法可以判斷位置存在且唯一，對應(yīng)的t的取值在2.5和2.6之間．

點評：本題主要考查反比例函數(shù)與三角形相似、全等的綜合運用，利用t表示出線段的長度，并且分2≤t≤

5

2

和t＞

5

2

兩種情況是解題的關(guān)鍵．