Question

已知：二次函數(shù)的圖象過A（1，0），B（k，0），C（0，k）（k≠1）．若D是拋物線的頂點，且△ABD是直角三角形，則k=    ；若拋物線上存在點P，使得△ABP是直角三角形，則k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+k，二次函數(shù)的圖象過A（1，0），B（k，0），列出二元一次方程組，用k表示出a和b，再根據(jù)△ABD是直角三角形，求出k的值；
當k=3，k=-1時，△ABD是等腰直角三角形，利用k=3或k=-1這個臨界條件可以求出使得△ABP是直角三角形，則k的取值范圍．
解答：解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+k，二次函數(shù)的圖象過A（1，0），B（k，0），
則，
解得a=1，b=-k-1；
二次函數(shù)的解析式為y=x²-（k+1）x+k，
當k＞1時，函數(shù)的圖象如圖1，
對稱軸DE=，頂點坐標為（，），
若△ABD是直角三角形，AD=DB，
則AE=DE，-1=，
解得k=3，
當k＜0，函數(shù)的圖象如圖2，
同理求出k=-1；
D是拋物線的頂點，且△ABD是直角三角形，則k=-1或3；

當k=3，k=-1時，△ABD是等腰直角三角形，
拋物線上存在點P，使得△ABP是直角三角形，則點P只能在x軸的下方，
結(jié)合如圖1，當k=3時，P點和D點重合，當k＜3時，不存在直角三角形，
即只有當k≥3時，△ABP是直角三角形；
結(jié)合如圖1，當k=-1時，P點和D點重合，當k＞-1時，不存在直角三角形，
即只有當k≤-1時，△ABP是直角三角形；
綜上所述，當k≥3或k≤-1時，拋物線上存在點P，使得△ABP是直角三角形；
故答案為：-1或3；k≥3或k≤-1．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是畫出圖象，結(jié)合圖象進行解答，此題的難度較大，理解起來有一定的難度．