Question

17．直線y=$\frac{4}{3}x$與拋物線y=（x-3）²-4m+3交于A，B兩點（其中點A在點B的左側），與拋物線的對稱軸交于點C，拋物線的頂點為D（點D在點C的下方），設點B的橫坐標為t
（1）求點C的坐標及線段CD的長（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m與t之間的關系式（不需寫出t的取值范圍）；
（3）若CD=CB．
①求點B的坐標；
②在拋物線的對稱軸上找一點F，使BF+$\frac{3}{5}$CF的值最小，則滿足條件的點F的坐標是（3，$\frac{23}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的解析式可得出拋物線對稱軸為x=3，將x=3代入直線AB的解析式中即可求出點C的坐標；由拋物線的解析式表示出頂點坐標，結合兩點間的距離公式即可得出CD的長度；
（2）將直線解析式代入拋物線解析式中，得出關于x的二元一次方程，由求根公式找出x值中較大的數(shù)，令其為t，變換等式即可得出結論；
（3）①借用（2）的結論，利用CD=CB得出關于m的一元二次方程，解方程得出m的值代入原方程進行驗證即可確定m的結果，在將m代入t關于m的解析式中即可得出B點的橫坐標，由點B在直線y=$\frac{4}{3}$x上即可得出B點坐標；②作B點關于對稱軸的對稱點B′，過點F作FM⊥BC于點M，連接B′M，通過三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊找出點F的位置，再結合兩直線垂直，斜率之積為-1找出B′M的解析式，結合對稱軸為x=3即可得出結論．

解答 解：（1）拋物線y=（x-3）²-4m+3的對稱軸為x=3，
令x=3，則有y=$\frac{4}{3}$×3=4，
即點C的坐標為（3，4）．
拋物線y=（x-3）²-4m+3的頂點D的坐標為（3，-4m+3），
∵點D在點C的下方，
∴CD=4-（-4m+3）=4m+1．
（2）∵點B在直線y=$\frac{4}{3}x$上，且其橫坐標為t，
則點B的坐標為（t，$\frac{4}{3}$t），
將點B的坐標代入拋物線y=（x-3）²-4m+3中，
得：$\frac{4}{3}$t=（t-3）²-4m+3，
整理，得：m=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{11}{6}$t+3．
（3）①依照題意畫出圖形，如圖1所示．

過點C作CE∥x軸，過點B作BE∥y軸交CE于點E．
∵直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
∴BE=$\frac{4}{3}$CE，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{5}{3}$CE．
∵CD=CB，
∴有4m+1=$\frac{5}{3}$（t-3）=$\frac{5}{3}$（$\frac{11}{3}$+$\sqrt{\frac{13}{9}+4m}$-3），
解得：m=-4，或m=1．
當m=-4時，$\frac{13}{9}$+4×（-4）=-$\frac{131}{9}$＜0，不合適，
∴m=1，
此時t=$\frac{11}{3}$+$\sqrt{\frac{13}{9}+4}$=6，
y=$\frac{4}{3}$×6=8．
故此時點B的坐標為（6，8）．
②作B點關于對稱軸的對稱點B′，過點F作FM⊥BC于點M，連接B′M．

∵直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$，F(xiàn)M⊥BC，
∴tan∠FCM=$\frac{1}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠FCM=$\frac{FM}{FC}=\frac{3}{5}$．
∵B、B′關于對稱軸對稱，
∴BF=B′F，
∴BF+$\frac{3}{5}$CF=B′F+FM．
當點B′、F、M三點共線時B′F+FM最�。�
∵B點坐標為（6，8），拋物線對稱軸為x=3，
∴B′點的坐標為（0，8）．
又∵B′M⊥BC，
∴直線B′M的斜率為$\frac{-1}{\frac{4}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴直線B′M的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+8，
當x=3時，有y=-$\frac{3}{4}$×3+8=$\frac{23}{4}$．
即此時點F的坐標為（3，$\frac{23}{4}$）．
故答案為：（3，$\frac{23}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式、解直角三角形以及解無理方程，解題的關鍵是：（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式找出其對稱軸及頂點坐標；（2）由求根公式得出t；（3）①得出關于m的無理方程；②尋到點F的位置．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）難度不小，①中涉及到了解無理方程，產(chǎn)生了增根需要去驗證；②尋找F點的位置是關鍵，此處在直角三角形中利用了角的三角函數(shù)值尋找到點F的位置．