Question

17．直線y=$\frac{4}{3}x$與拋物線y=（x-3）²-4m+3交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D（點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方），設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及線段CD的長（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m與t之間的關(guān)系式（不需寫出t的取值范圍）；
（3）若CD=CB．
①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)F，使BF+$\frac{3}{5}$CF的值最小，則滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)是（3，$\frac{23}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的解析式可得出拋物線對(duì)稱軸為x=3，將x=3代入直線AB的解析式中即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；由拋物線的解析式表示出頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可得出CD的長度；
（2）將直線解析式代入拋物線解析式中，得出關(guān)于x的二元一次方程，由求根公式找出x值中較大的數(shù)，令其為t，變換等式即可得出結(jié)論；
（3）①借用（2）的結(jié)論，利用CD=CB得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程得出m的值代入原方程進(jìn)行驗(yàn)證即可確定m的結(jié)果，在將m代入t關(guān)于m的解析式中即可得出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由點(diǎn)B在直線y=$\frac{4}{3}$x上即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；②作B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，連接B′M，通過三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊找出點(diǎn)F的位置，再結(jié)合兩直線垂直，斜率之積為-1找出B′M的解析式，結(jié)合對(duì)稱軸為x=3即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線y=（x-3）²-4m+3的對(duì)稱軸為x=3，
令x=3，則有y=$\frac{4}{3}$×3=4，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）．
拋物線y=（x-3）²-4m+3的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-4m+3），
∵點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方，
∴CD=4-（-4m+3）=4m+1．
（2）∵點(diǎn)B在直線y=$\frac{4}{3}x$上，且其橫坐標(biāo)為t，
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，$\frac{4}{3}$t），
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線y=（x-3）²-4m+3中，
得：$\frac{4}{3}$t=（t-3）²-4m+3，
整理，得：m=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{11}{6}$t+3．
（3）①依照題意畫出圖形，如圖1所示．

過點(diǎn)C作CE∥x軸，過點(diǎn)B作BE∥y軸交CE于點(diǎn)E．
∵直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
∴BE=$\frac{4}{3}$CE，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{5}{3}$CE．
∵CD=CB，
∴有4m+1=$\frac{5}{3}$（t-3）=$\frac{5}{3}$（$\frac{11}{3}$+$\sqrt{\frac{13}{9}+4m}$-3），
解得：m=-4，或m=1．
當(dāng)m=-4時(shí)，$\frac{13}{9}$+4×（-4）=-$\frac{131}{9}$＜0，不合適，
∴m=1，
此時(shí)t=$\frac{11}{3}$+$\sqrt{\frac{13}{9}+4}$=6，
y=$\frac{4}{3}$×6=8．
故此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8）．
②作B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，連接B′M．

∵直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$，F(xiàn)M⊥BC，
∴tan∠FCM=$\frac{1}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠FCM=$\frac{FM}{FC}=\frac{3}{5}$．
∵B、B′關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴BF=B′F，
∴BF+$\frac{3}{5}$CF=B′F+FM．
當(dāng)點(diǎn)B′、F、M三點(diǎn)共線時(shí)B′F+FM最�。�
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），拋物線對(duì)稱軸為x=3，
∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，8）．
又∵B′M⊥BC，
∴直線B′M的斜率為$\frac{-1}{\frac{4}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴直線B′M的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+8，
當(dāng)x=3時(shí)，有y=-$\frac{3}{4}$×3+8=$\frac{23}{4}$．
即此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，$\frac{23}{4}$）．
故答案為：（3，$\frac{23}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式、解直角三角形以及解無理方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式找出其對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由求根公式得出t；（3）①得出關(guān)于m的無理方程；②尋到點(diǎn)F的位置．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）難度不小，①中涉及到了解無理方程，產(chǎn)生了增根需要去驗(yàn)證；②尋找F點(diǎn)的位置是關(guān)鍵，此處在直角三角形中利用了角的三角函數(shù)值尋找到點(diǎn)F的位置．