Question

已知：如圖，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為10，OE、OF分別交AB于點E、F，OF的延長線交⊙O于點D，且AE=BF，∠EOF=60°．
（1）求證：△OEF是等邊三角形；
（2）當AE=OE時，求陰影部分的面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

（1）證明：作OC⊥AB于點C，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵AE=BF，
∴EC=FC，
∵OC⊥EF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=60°，
∴△OEF是等邊三角形；

（2）解：∵在等邊△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，
∴∠A=∠AOE=30°，
∴∠AOF=90°，
∵AO=10，
∴OF=，
∴S_△AOF=××10=，S_扇形AOD=×10²=25π，
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOF=25π-．
分析：（1）作OC⊥AB于點C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根據(jù)AE=BF可知EC=FC，因為OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出結論；
（2）在等邊△OEF中，因為∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的長，根據(jù)S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOF即可得出結論．
點評：本題考查的是垂徑定理，涉及到等邊三角形的判定與性質、直角三角形的性質及扇形的面積等知識，難度適中．