Question

14．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形ODEC是矩形；
（2）當(dāng)∠ADB=60°，AD=2$\sqrt{3}$時(shí)，求sin∠AED的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的判定得出邊形OCED是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠COD=90°，根據(jù)矩形的判定得出即可；
（2）解直角三角形求出AO、DO、求出AC、CE，根據(jù)勾股定理求出AE，解直角三角形求出即可．

解答 （1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四邊形OCED是矩形；
                 
（2）解：∵∠ADB=60°，AD=2$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{3}$，AO=3，
∴CE=$\sqrt{3}$，AC=6，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{39}$，
∴sin∠AED=sin∠CAE=$\frac{CE}{AE}$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：菱形的對(duì)角線互相平分且垂直．