Question

4．已知，如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，-1），B（3，-1），動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿著x軸正方向以每秒2個(gè)單位長度的速度移動，過點(diǎn)P作PQ垂直于直線OA，垂足為點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P移動的時(shí)間t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式，并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求出a、b的值，即可得解，再把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)P的速度求出OP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出∠AOC=45°，然后判斷出△POQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；
（3）求出點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)的t=1，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)的t=1.5，t=2時(shí)PQ經(jīng)過點(diǎn)B，然后分①0＜t≤1時(shí)，重疊部分的面積等于△POQ的面積，②1＜t≤1.5時(shí)，重疊部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積的差，③1.5＜t＜2時(shí)，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個(gè)等腰直角三角形的面積分別列式整理即可得解．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），
把點(diǎn)A（1，-1），B（3，-1）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-1}\\{9a+3b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
故拋物線解析式為y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x；

（2）∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)速度是每秒2個(gè)單位長度，
∴OP=2t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，0），
∵A（1，-1），
∴∠AOC=45°，
∴點(diǎn)Q到x軸、y軸的距離都是$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$×2t=t，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，-t）；

（3）如圖，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，OP=1×2=2，t=2÷2=1，
點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，OP=3，t=3÷2=1.5，
t=2時(shí)，OP=2×2=4，PC=4-3=1，此時(shí)PQ經(jīng)過點(diǎn)B，
所以，分三種情況討論：
①0＜t≤1時(shí)，重疊部分的面積等于△POQ的面積，S=$\frac{1}{2}$×（2t）×$\frac{2t}{2}$=t²，
②1＜t≤1.5時(shí)，重疊部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積的差，
S=S_△OP′Q′-S_△AEQ′=$\frac{1}{2}$×（2t）×$\frac{2t}{2}$-$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$t-$\sqrt{2}$）²=2t-1；
③1.5＜t＜2時(shí)，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個(gè)等腰直角三角形的面積
S=S_梯形OABC-S_△BGF=$\frac{1}{2}$×（2+3）×1-$\frac{1}{2}$×[1-（2t-3）]²=-2（t-2）²+$\frac{5}{2}$；
所以，S與t的關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}（0＜t≤1）}\\{2t-1（1＜t≤1.5）}\\{-2（t-2）^{2}+\frac{5}{2}（1.5＜t＜2）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難點(diǎn)在于（3）隨著運(yùn)動時(shí)間的變化，根據(jù)重疊部分的形狀的不同分情況討論，作出圖形更形象直觀．