Question

我們知道“在三角行每一頂點處個取一個外角，它們的和就是這個三角形的外角和”．
（1）你能求出三角形的外角和是多少嗎？證明你的結論；
（2）如果將三角形三條邊都向兩邊延長，并且在每條線上任取兩點連接起來，那么在原三角形外又得到三個新三角形，如圖，猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？
（3）請用（1）的結論證明（2）的猜想．
（4）對于（2）的證明你有其他的方法嗎？請寫出來與同伴交流．

Answer 1

考點：三角形的外角性質,三角形內角和定理

專題：探究型

分析：（1）先利用三角形外角性質得到∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC，再把它們相加，然后根據(jù)三角形內角和可得到∠1+∠2+∠3=360°；
（2）猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°；
（3）先根據(jù)三角形外角的性質得出∠AGM=∠A+∠B，∠MNF=∠E+∠F，∠DMN=∠C+∠D，再由（1）中的結論即可得出結果．
（4）根據(jù)三角形內角和定理可得∠2+∠4+∠5=180°，∠A+∠B+∠1=180°，∠C+∠D+∠3=180°，∠E+∠F+∠6=180°，進而可得∠1+∠3+∠6=180°，從而可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

解答：（1）三角形的外角和等于360°．
證明：如圖所示，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠ABC+∠ACB，
同理得∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3=（∠ABC+∠ACB）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ACB+∠BAC），
=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．

（2）猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

（3）證明：∵∠AGM是△ABG的外角，
∴∠AGM=∠A+∠B．
∵∠MNF是△EFN的外角，
∴∠MNF=∠E+∠F．
∵∠DMN是△CDM的外角，
∴∠DMN=∠C+∠D．
∵∠AGM，∠MNF，∠DMN是△GMN的外角，
∴∠AGM+∠MNF+∠DMN=360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

（4）解：∵∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠3+∠6=180°，
∵∠A+∠B+∠1=180°，∠C+∠D+∠3=180°，∠E+∠F+∠6=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=180°×3=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

點評：此題主要考查了三角形的外角，以及三角形內角和定理，關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．