Question

如圖，⊙O中，弦AB⊥CD于點E．若AC=BD，ON⊥BD于N，OM⊥AC于M，
（1）求證：ME∥ON；
（2）求證：四邊形OMEN為菱形．

Answer 1

分析：（1）首先延長ME交BD于點F，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，易得FM⊥BD，則可得ME∥ON；
（2）由（1），易證得四邊形OMEN為平行四邊形，EM=EN，即可證得四邊形OMEN為菱形．

解答：證明：（1）延長ME交BD于點F，
∵OM⊥AC，
∴AM=AM，
∵弦AB⊥CD，
∴在Rt△ACE中，EM=AM=

1

2

AC，
∴∠A=∠AEM，
∵∠AEM=∠BEF，∠B=∠C，
∴∠B+∠BEF=∠A+∠C=90°，
即FM⊥BD，
∵ON⊥BD，
∴ME∥ON；

（2）同（1）可得：EN∥OM，
∵ME∥ON，
∴四邊形OMEN為平行四邊形，
∵EM=

1

2

AC，
同理，EN=

1

2

BD，
∵AC=BD，
∴EM=EN，
∴四邊形OMEN為菱形．

點評：此題考查了垂徑定理、平行線的判定以及菱形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．