Question

已知：如圖，函數(shù)y=

4

x

的圖象和兩條直線y₁=x，y₂=

1

2

x在第一象限內(nèi)分別交于P₁和P₂兩點(diǎn)，過(guò)P₁和P₂兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A₁、B₁和A₂、B₂．
（1）求矩形P₁A₁OB₁和P₂A₂OB₂的周長(zhǎng)，并比較它們的大��；
（2）若按上述步驟繼續(xù)作直線y_k=

1

k

x（k≥3的整數(shù)），類似地可以得到矩形P_kA_kOB_k，請(qǐng)你直接寫(xiě)出k=

 

時(shí)，矩形P_kA_kOB_k的周長(zhǎng)是有理數(shù)（只需要寫(xiě)出一個(gè)即可）．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：

分析：（1）分別解兩個(gè)方程組

y= 4 x y=x

、

y= 4 x y= 1 2 x

可確定點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（2

2

，

2

）；再計(jì)算出矩形OQ₁P₁R₁的周長(zhǎng)=2（2+2）=8，矩形OQ₂P₂R₂的周長(zhǎng)=2（2

2

+

2

）=6

2

，然后利用平方法比較8與6

2

的大小即可．
（2）當(dāng)4k的值是一個(gè)數(shù)的平方時(shí)，矩形P_kA_kOB_k的周長(zhǎng)是有理數(shù)．

解答：解：（1）解方程組

y= 4 x y=x

得

x=2 y=2

或

x=-2 y=-2

，所以點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（2，2）；
解方程組

y= 4 x y= 1 2 x

得

x=2 2 y= 2

或

x=-2 2 y=- 2

，所以點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（2

2

，

2

）；
所以矩形OQ₁P₁R₁的周長(zhǎng)=2（2+2）=8，矩形OQ₂P₂R₂的周長(zhǎng)=2（2

2

+

2

）=6

2

，
因?yàn)?²=64，（6

2

）²=72，
所以矩形OQ₁P₁R₁的周長(zhǎng)比矩形OQ₂P₂R₂的周長(zhǎng)�。�
（2）當(dāng)4k的值是一個(gè)數(shù)的平方時(shí)，矩形P_kA_kOB_k的周長(zhǎng)是有理數(shù)．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式．也考查了矩形的周長(zhǎng)．