Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（-4，0）兩點(diǎn)，交y軸與C點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在該拋物線位于第二象限的部分上是否存在點(diǎn)D，使得△DBC的面積S最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)F，連接線段CF，連接直線BC，請問能否在直線BC上找到一個(gè)點(diǎn)M，在拋物線上找到一個(gè)點(diǎn)N，使得C、F、M、N四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形？若存在，請寫出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可知，將點(diǎn)A、B代入函數(shù)解析式，列得方程組即可求得b、c的值，求得函數(shù)解析式；
（2）存在，設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將△DBC的面積表示成二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分①CF是邊；②CF是對角線．

解答：解：（1）將A（1，0），B（-4，0）代入y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -16-4b+c=0

，
解得

b=-3 c=4

．
所以拋物線解析式為：y=-x²-3x+4；

（2）在該拋物線位于第二象限的部分上是否存在點(diǎn)D，使得△DBC的面積S最大．理由如下：
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x²-3x+4）（-4＜x＜0）．如圖，過D點(diǎn)作DE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵S_△DBC=S_{四邊形BDCO}-S_△BOC=S_{四邊形BDCO}-

1

2

×4×4=S_{四邊形BDCO}-8，
若S_{四邊形BDCO}有最大值，則S_△DBC就最大，
∴S_{四邊形BDCO}=S_△BDE+S_{直角梯形DEOC}
=

1

2

BE•DE+

1

2

OE（DE+OC）
=

1

2

（x+4）（-x²-3x+4）+

1

2

（-x）（-x²-3x+4+4）
=-2x²-8x+8
=-2（x+2）²+16，
當(dāng)x=-2時(shí)，S_{四邊形BDCO}最大值=16．
∴S_△BDC最大值=16-8=8．
當(dāng)x=-2時(shí)，-x²-3x+4=-（-2）²-3×（-2）+4=6，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-2，6）；

（3）能夠在直線BC上找到一個(gè)點(diǎn)M，在拋物線上找到一個(gè)點(diǎn)N，使得C、F、M、N四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形．理由如下：
∵y=-x²-3x+4=-（x+

3

2

）²+

25

4

，
∴頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-

3

2

，

25

4

）．
∵B（-4，0），C（0，4），
∴直線BC的解析式為y=x+4．
分兩種情況：①CF是邊．
如圖，過點(diǎn)F作FN∥BC，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)直線FN的解析式為y=x+m，
把F（-

3

2

，

25

4

）代入，得-

3

2

+m=

25

4

，
解得m=

31

4

，
∴直線FN的解析式為y=x+

31

4

．
由

y=x+ 31 4 y=-x2-3x+4

，解得

x=- 5 2 y= 21 4

或

x=- 3 2 y= 25 4

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

5

2

，

21

4

）．
∵F（-

3

2

，

25

4

），N（-

5

2

，

21

4

），
∴FN²=（-

3

2

+

5

2

）²+（

25

4

-

21

4

）²=2．
∵四邊形CFNM是平行四邊形，
∴CM=FN．
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+4），則
CM²=x²+（x+4-4）²=2x²=2，
解得x=±1，
x=1不合題意舍去，
∴x=-1，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，3）；
②CF是對角線．如圖．
∵四邊形CMFN是平行四邊形，
∴FN∥BC，CM=FN．
由①可知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

5

2

，

21

4

），M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
當(dāng)x=1時(shí)，x+4=5，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，3）或（1，5），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-

5

2

，

21

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的最值求法，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)等知識(shí)，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．