Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于點(diǎn)E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．從初始時(shí)刻開始，動(dòng)點(diǎn)P，Q 分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，動(dòng)點(diǎn)P沿A-B--C--E的方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)E停止；動(dòng)點(diǎn)Q沿B--C--E--D的方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，△PAQ的面積為ycm²，（這里規(guī)定：線段是面積為0的三角形）
解答下列問題：
（1）當(dāng)x=2s時(shí)，y=

 

cm²；當(dāng)x=

9

2

s時(shí)，y=

 

cm²．
（2）當(dāng)5≤x≤14 時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出y=

4

15

S_梯形ABCD時(shí)x的值．
（4）直接寫出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，使PQ與四邊形ABCE的對角線平行的所有x的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=2s時(shí)，AP=2，BQ=2，利用三角形的面積公式直接可以求出y的值，當(dāng)x=

9

2

s時(shí)，三角形PAQ的高就是4，底為4.5，由三角形的面積公式可以求出其解．
（2）當(dāng)5≤x≤14 時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．要分為三種不同的情況進(jìn)行表示：當(dāng)5≤x≤9時(shí)，當(dāng)9＜x≤13時(shí)，當(dāng)13＜x≤14時(shí)．
（3）可以由已知條件求出S_梯形ABCD，然后根據(jù)條件求出y值，代入當(dāng)5≤x≤9時(shí)的解析式就可以求出x的值．
（4）利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)線段成比例就可以求出對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）當(dāng)x=2s時(shí)，AP=2，BQ=2
∴y=

2×2

2

=2
當(dāng)x=

9

2

s時(shí)，AP=4.5，Q點(diǎn)在EC上
∴y=

4.5×4

2

=9
故答案為：2；9

（2）當(dāng)5≤x≤9時(shí)
y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△PCQ=

1

2

（5+x-4）×4-

1

2

×5（x-5）-

1

2

（9-x）（x-4）
y=

1

2

x²-7x+

65

2

當(dāng)9＜x≤13時(shí)
y=

1

2

（x-9+4）（14-x）
y=-

1

2

x²+

19

2

x-35
當(dāng)13＜x≤14時(shí)
y=

1

2

×8（14-x）
y=-4x+56；

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵y=

4

15

S_梯形ABCD=

4

15

×

1

2

（4+8）×5=8
∴8=

1

2

x²-7x+

65

2

，即x²-14x+49=0，解得：x₁=x₂=7
∴當(dāng)x=7時(shí)，y=

4

15

S_梯形ABCD

（4）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，
當(dāng)PQ∥AC時(shí)，BP=5-x，BQ=x，
此時(shí)△BPQ∽△BAC，
故

BP

AB

=

BQ

BC

，即

5-x

5

=

x

4

，
解得x=

20

9

；
當(dāng)PQ∥BE時(shí)，PC=9-x，QC=x-4，
此時(shí)△PCQ∽△BCE，
故

PC

BC

=

CQ

CE

，即

9-x

4

=

x-4

5

，
解得x=

61

9

；
當(dāng)PQ∥BE時(shí)，EP=14-x，EQ=x-9，
此時(shí)△PEQ∽△BAE，
故

EP

AB

=

EQ

AE

，即

14-x

5

=

x-9

4

，
解得x=

101

9

．
綜上所述x的值為：x=

20

9

、

61

9

或

101

9

．

點(diǎn)評：本題考查了用函數(shù)關(guān)系式表示變化過程中三角形的面積，相似三角形的判定及性質(zhì)，梯形的面積等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．是一道分段函數(shù)試題，難度較大．