Question

如圖1，點(diǎn)A在⊙O外，射線AO交⊙O于F，C兩點(diǎn)，點(diǎn)H在⊙O上，

FH

=2

GH

，D是

FH

上的一個動點(diǎn)（不運(yùn)動至F，H），BD是⊙O的直徑，連接AB，交⊙O于點(diǎn)C，CD交0F于點(diǎn)E．且AO=BD=2．
（1）設(shè)AC=x，AB=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)AD與⊙O相切時（如圖2），求tanB的值；
（3）當(dāng)DE=DO時（如圖3），求EF的長．

Answer 1

分析：（1）有了AO，BD的長，就能求出AF、AG的長，然后根據(jù)切割線定理即可得出x、y的函數(shù)關(guān)系式；
（2）AD與圓O相切，那么三角形ADB是直角三角形，因此∠B的正切值就應(yīng)該是AD：BD，有BD的值，求AD就是解題的關(guān)鍵，有兩種求法：①根據(jù)AD是切線可根據(jù)AD²=AF•AG，求出AD的長，②根據(jù)AO、OD的長用勾股定理求出AD的長；
（3）可通過構(gòu)建相似三角形來求解，過點(diǎn)D作DM⊥EO于M，那么根據(jù)DO=DE，我們不難得出EM=OM，我們可通過三角形AEC和DEM相似，得出DE•CE=AE•EM，又根據(jù)相交弦定理可得出DE•CE=FE•EG，將相等的線段進(jìn)行置換，可得出AE•EM=FE•EG，可用EF表示出EG，EO，也就表示出了EM、OM，由此可在這個比例關(guān)系式中得出EF的值．

解答：解：（1）∵BD=2
∴OF=OG=1
又∵AO=2
∴AF=AO-OF=2-1=1，AG=AO+OG=2+1=3
由切割線定理的推論得AC•AB=AF•AG，
∴xy=1×3
∴y=

3

x

，自變量x的取值范圍是1＜x＜

3

；

（2）∵AD與⊙O相切，
∴∠ADB=90°
又∵AO=BD=2
∴OD=1
∴AD=

AO2-OD2

=

22-12

=

3

∴tanB=

AD

BD

=

3

2

；

（3）過點(diǎn)D作DM⊥EO于M，
∵BD是直徑
∴∠BCD=90°
∴∠ECA=∠EMD=90°
又∵∠AEC=∠DEM
∴Rt△AEC∽Rt△DEM
∴

AE

DE

=

CE

ME

∴AE•ME=DE•CE
由相交弦定理，得EF•EG=DE•CE
∴AE•ME=EF•EG
設(shè)EF=t，則AE=AO-OF+EF=2-1+t=1+t
EG=FG-EF=2-t
又∵DE=DO
∴ME=OM
∴ME=

1

2

EO=

1

2

（OF-EF）=

1-t

2

∴（1+t）•

1-t

2

=t•（2-t）
化簡，得t²-4t+1=0
∴t₁=2-

3

，t₂=2+

3

（不合題意，舍去）
即EF=2-

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，相交弦定理，切割線定理以及相似三角形的判定和應(yīng)用等知識點(diǎn)．本題中根據(jù)線段間的比例關(guān)系來求解是解題的基本思路．