Question

（2007•桂林）已知：如圖，△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B、P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C、Q．BP=AP=2，且P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）分別寫(xiě)出Q點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出△ABP關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)三角形；
（2）M為線(xiàn)段CQ上一點(diǎn)，若以x軸為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)△PAM一周形成的旋轉(zhuǎn)體的全面積為5π，求線(xiàn)段AM的長(zhǎng)；
（3）N為線(xiàn)段AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、M不重合），過(guò)點(diǎn)N分別作NH⊥x軸于H，NG⊥y軸于G．求當(dāng)矩形OHNG的面積最大時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么Q的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，0），BP=2，那么CQ=2，因此C的坐標(biāo)是（3，0），由于B，P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是C，Q，那么三角形ABP關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)三角形就應(yīng)該是ACQ；
（2）旋轉(zhuǎn)一周得出的圖形應(yīng)該是兩個(gè)圓錐的組合體，也就是以O(shè)A為底面圓半徑，AM和AP為母線(xiàn)長(zhǎng)的兩個(gè)圓錐．那么關(guān)鍵是求出OA的長(zhǎng)，可在直角三角形AOM中，根據(jù)AP，OP的長(zhǎng)，求出OA的值，然后根據(jù)圓錐體全面積的計(jì)算方法表示出圓錐的全面積（這里不應(yīng)該算底面圓），進(jìn)而得出AM的值；
（3）求矩形的面積關(guān)鍵是求N點(diǎn)的坐標(biāo)，那么就必須先求出AM所在直線(xiàn)的解析式，根據(jù)直線(xiàn)過(guò)A點(diǎn)，我們可將直線(xiàn)設(shè)成y=kx+，然后根據(jù)直線(xiàn)過(guò)M點(diǎn)，而OM可以在直角三角形AMO中求出，也就能得出M的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，這樣，可根據(jù)矩形的面積公式，以N的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值當(dāng)矩形的寬，以N的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值當(dāng)矩形的長(zhǎng)，以此可得出關(guān)于矩形的面積與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判定出x為什么值時(shí)，矩形的面積最大，然后將x的值代入AM所在直線(xiàn)的解析式中得出N點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；△ABP與△ACQ關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

（2）在Rt△AOP中，∵AP=2，PO=1，AO==，依題意有：
×2π×2+×2π×AM=5π，∴AM=3；

（3）在Rt△AOM中，∵AO=，AM=3，
∴OM==，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），設(shè)直線(xiàn)AM的解析式為：y=kx+，
∵直線(xiàn)AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，0），k+=0，k=-，
∴直線(xiàn)AM的解析式為：y=-x+．設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），
則S_矩形AGOH=xy=x（-x+）=-x²+x=-（x-）²+，
∴當(dāng)x=時(shí)，矩形NGOH的面積取得最大值，
此時(shí)y=-x+=，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，一次函數(shù)及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)得出各邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．