Question

如圖：已知正方形ABCD的對角線AC長為20cm，半徑為1的⊙O₁的圓心O₁從A點出發(fā)以1cm/s的速度向C運動，半徑為1的⊙O₂的圓心O₂從C點出發(fā)以2cm/s的速度向A運動且半徑同時也以1cm/s的速度不斷增大，兩圓同時運動，當其中一個圓的圓心運動到AC的端點時，另一個圓也停止運動．
（1）當O₁運動了幾秒時，⊙O₁與AD相切？
（2）當O₂運動了幾秒時，⊙O₂與CB相切？
（3）當O₂運動了幾秒時，⊙O₂與⊙O₂相切？

Answer 1

解：（1）

設⊙O₁運動了t秒時⊙O₁與AD相切于E連接OE，
∴OE⊥AD，
∵AC為正方形的對角線，∴△A O₁E為等腰直角三角形，
∴AE=O₁E=1，
∵A O₁=t
∴t²=1²+1²，
解得t₁=，t₂=-（舍去），
當O₁運動了秒時⊙O₁與AD相切；

（2）設O₂運動了t秒時，⊙O₂與BC相切于F，則△C O₂F為等腰直角三角形，
∴CF=O₂F=t+1，
∵C O₂=2t，
∴（2t）²=（t+1）²+（t+1）²
解得，（舍去），
∴當O₂運動了（）秒時，⊙O₂與BC相切；

（3）設運動了t秒時⊙O₁，⊙O₂相切，則O₁A=t，O₂C=2t，
①如圖③⊙O₁與⊙O₂第一次相切時，則O₁ O₂=1+t+1，
∵O₁ O₂=AC-O₁A-O₂C，
∴1+t+1=20-t-2t，解得，
②如圖④⊙O₁與⊙O₂第二次相切時則O₁ O₂=t+1-1，
∵O₁ O₂=20-t-2t，
∴t+1-1=20-t-2t 解得t=5，
③如圖⑤⊙O₁與⊙O₂第三次相切時則O₁ O₂=t+1-1=t，
∵O₁ O₂=O₁A-O₂C-AC=t+2t-20，
∴t=t+2t-20，
解得t=10，
∵t=10時，O₂C=2×10=20∴此時O₂落在AC的端點A上，
∴當運動了4.5秒、5秒、10秒時⊙O₁與⊙O₂相切．
分析：（1）根據(jù)設⊙O₁運動了t秒時⊙O₁與AD相切于E連接OE，利用等腰三角形的性質(zhì)求出，當O₁運動了秒時⊙O₁與AD相切；
（2）根據(jù)設O₂運動了t秒時，⊙O₂與BC相切于F，則△C O₂F為等腰直角三角形，利用（2t）²=（t+1）²+（t+1）²求出即可；
（3）根據(jù)①⊙O₁與⊙O₂第一次相切時以及如圖⊙O₁與⊙O₂第二次相切時則O₁ O₂=t+1-1，如圖⊙O₁與⊙O₂第三次相切時則O₁ O₂=t+1-1=t，分別求出即可．
點評：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和勾股定理的應用，根據(jù)已知利用切線的性質(zhì)和勾股定理是解題關鍵．