Question

如圖，在銳角△ABC中，BA=BC，點O是邊AB上的一個動點（不與點A、B重合），以O為圓心，OA為半徑的圓交邊AC于點M，過點M作⊙O的切線MN交BC于點N．
（1）當OA=OB時，求證：MN⊥BC；
（2）分別判斷OA＜OB、OA＞OB時，上述結論是否成立，請選擇一種情況，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OM，則OM⊥MN，△OAM中，OA=OM，因此∠A=∠OMA=∠C，因此OM∥BC，故MN⊥BC；
（2）由（1）的證明過程可知：證MN⊥BC，與OA、OB的大小沒有關系，因此兩種情況都成立．
解答：（1）證明：如圖①，連接OM，則OM⊥MN；
∵在△OAM中，OA=OM，
∴∠A=∠OMA；
∵在△BAC中，BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠OMA=∠C，
∴OM∥BC，
∴MN⊥BC；

（2）解：當OA＜OB時，成立；當OA＞OB時，也成立．
以OA＜OB為例進行說明，如圖②，OA＜OB，連接OM；
∵在△OAM中，OA=OM，
∴∠A=∠OMA；
∵在△BAC中，BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠OMA=∠C，
∴OM∥BC，
∴MN⊥BC．
點評：本題考查了切線的性質、等腰三角形的性質、平行線的判定和性質等知識的綜合應用能力．