Question

【題目】如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0，-4)，與x軸交于點(diǎn)A、B，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC交BC于點(diǎn)E，連接CP，求△PCE面積最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，當(dāng)△OMD為等腰三角形時(shí)，連接MP、ME，把△MPE沿著PE翻折，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為y=4；

(2) 當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，0)時(shí), S△PCE的最大，且最大值為3；

(3) M點(diǎn)關(guān)于PE的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1，1)或(2，0).

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出△PCE面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值；（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論．

解：（1）把點(diǎn)C（0，﹣4），B（2，0）分別代入y=x2+bx+c中，

得，

解得

∴該拋物線的解析式為y=x2+x﹣4．

（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC=ABOC=12．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△ABC，

∴，即，

化簡(jiǎn)得：S△PBE=（2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PBOC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2

=x2﹣x+

=（x+1）2+3

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，S△PCE的最大值為3．

（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：（I）當(dāng)DM=DO時(shí)，如答圖①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）；

（II）當(dāng)MD=MO時(shí)，如答圖②所示．

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OD于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為OD的中點(diǎn)，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）；

（III）當(dāng)OD=OM時(shí)，

∵△OAC為等腰直角三角形，

∴點(diǎn)O到AC的距離為×4=，即AC上的點(diǎn)與點(diǎn)O之間的最小距離為．

∵＞2，∴OD=OM的情況不存在．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．

“點(diǎn)睛”本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．第（2）問(wèn)將面積的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的極值問(wèn)題，注意其中求面積表達(dá)式的方法；第（3）問(wèn)重在考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意三種可能的情形需要一一分析，不能遺漏．