Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)且縱坐標(biāo)為6，點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線MN∥x軸，設(shè)MN分別交射線OA與x軸所成的兩個(gè)角的平分線于點(diǎn)E、F．
（1）求證：EB=BF；
（2）當(dāng)

OB

OA

為何值時(shí)，四邊形AEOF是矩形？證明你的結(jié)論；
（3）是否存在點(diǎn)A、B，使四邊形AEOF為正方形？若存在，求點(diǎn)A與B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）證明：由OF平分OA與x軸正方向的夾角得∠1=∠3，由MN∥x軸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠2，所以∠2=∠3，則根據(jù)等腰三角形的判定得BO=BF，同樣的方法可得BE=BO，于是有BE=BF；
（2）由于MN分別交射線OA與x軸所成的兩個(gè)角的平分線于點(diǎn)E、F，根據(jù)平角的定義得到∠EOF=90°，根據(jù)矩形的判定方法得當(dāng)四邊形AEOF為平行四邊形時(shí)，四邊形AEOF為矩形，而BE=BF，根據(jù)平行四邊形的判定，當(dāng)OB=AB時(shí)，四邊形AEOF為平行四邊形，于是得到

OB

OA

=

1

2

時(shí)，四邊形AEOF是矩形；
（3）由于四邊形AEOF是矩形，根據(jù)正方形的判定方法，當(dāng)OA⊥EF時(shí)，四邊形AEOF為正方形，而EF∥x軸，則OA⊥x軸，所以點(diǎn)A在y軸上，易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），利用BO=BA可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

解答：（1）證明：∵OF平分OA與x軸正方向的夾角，
∴∠1=∠3，
∵M(jìn)N∥x軸，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BO=BF，
同理可得BE=BO，
∴BE=BF；
（2）當(dāng)

OB

OA

的值為

1

2

時(shí)，四邊形AEOF是矩形．理由如下：
∵

OB

OA

=

1

2

，即BO=BA，
而BE=BF，
∴四邊形AEOF為平行四邊形，
∵M(jìn)N分別交射線OA與x軸所成的兩個(gè)角的平分線于點(diǎn)E、F．
∴∠EOF=

1

2

×180°=90°，
∴四邊形AEOF是矩形；
（3）存在．
∵四邊形AEOF是矩形，
∴當(dāng)OA⊥EF時(shí)，四邊形AEOF為正方形，
而EF∥x軸，
∴OA⊥x軸，
∴點(diǎn)A在y軸上，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），
∵BO=BA，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握平行四邊形、矩形和正方形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；同時(shí)會(huì)運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；記住坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．