Question

如圖，已知：AO為⊙O₁的直徑，⊙O₁與⊙O的一個(gè)交點(diǎn)為E，直線(xiàn)AO交⊙O于B、C兩點(diǎn)，過(guò)⊙O的切線(xiàn)GF，交直線(xiàn)AO于點(diǎn)D，與AE的延長(zhǎng)線(xiàn)垂直相交于點(diǎn)F，OG∥AF．
（1）求證：AE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AB=2，AE=6，求△ODG的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OE，由于AO是⊙O₁的直徑，則直徑對(duì)的圓周角是直角，所以∠AEO=90°，而OE是圓O的半徑，所以AE是圓O的切線(xiàn)；
（2）由切割線(xiàn)定理可求得AC，BC的長(zhǎng)，從而得到四邊形FGOE是正方形，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可求得DG的長(zhǎng)；再根據(jù)勾股定理得到CD的長(zhǎng)，這樣△ODG的周長(zhǎng)就不難求得了．

解答：（1）證明：連接OE，
∵AO是⊙O₁的直徑，
∴∠AEO=90°．
∵OE是⊙O的半徑，
∴AE是⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：∵AE是⊙O的切線(xiàn)，ACO是⊙O的割線(xiàn)，
∴AE²=AB•AC．
∴AC=18，BC=AC-AB=16，OG=OB=8．
∵OE⊥AF，OG⊥DF，DF⊥AF，EF=FG，OE=OG，
∴四邊形FGOE是正方形，
∴EF=OG=8，AF=14．
∵OG∥AF，
∴OG：AF=DG：（DG+FG）．
解得DG=

32

3

．
在Rt△OGD中，OG²+DG²=OD²，即8²+（

32

3

）²=（8+CD）²
解得，CD=

16

3

．
∴△ODG的周長(zhǎng)=DG+CD+OC+OG=32．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線(xiàn)的性質(zhì)，切割線(xiàn)定理，勾股定理，正方形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．