Question

已知：BD是四邊形ABCD的對角線，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=3+

3

，CD=2

3

．
（1）求tan∠ABD的值；
（2）求AD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，從而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答；
（2）過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，求出BF=AF=

2

2

，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，
∵在Rt△CDE 中，∠C=60°，CD=2

3

，
∴CE=

3

，DE=3，
∵BC=3+

3

，
∴BE=BC-CE=3+

3

-

3

=3，
∴DE=BE=3，
∴在Rt△BDE 中，∠EDB=∠EBD=45°，
∵AB⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45°，
∴tan∠ABD=1；

（2）過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F．
在Rt△ABF中，∠ABF=45°，AB=1，
∴BF=AF=

2

2

，
∵在Rt△BDE中，DE=BE=3，
∴BD=3

2

，
∴DF=BD-BF=3

2

-

2

2

=

5 2

2

，
∴在Rt△AFD 中，AD=

DF2+AF2

=

( 5 2 2 )2+( 2 2 )2

=

13

．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，解直角三角形，根據(jù)邊的長度得到等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造成直角三角形．