Question

操作探究：圖1a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖1b的形狀拼成一個正方形．
（1）你認為圖1b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？

m-n

（2）請用兩種不同的方法求圖1b中陰影部分的面積．

方法1：

（m-n）²

；
方法2：

（m+n）²-4mn

；
（3）觀察圖1b你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎？代數式：（m+n）²，（m-n）²，mn．

（m-n）²=（m+n）²-4mn

；
（4）根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：若a+b=7，ab=5，求（a-b）²的值．
（5）已知：如圖2，現有的a×a，b×b正方形和a×b的矩形紙片若干塊，試選用這些紙片（每種至少用一次）在如圖3的虛線方框中拼成一個矩形（每兩個紙片之間既不重疊，也無空隙，作出的圖中必須保留拼圖的痕跡），使拼出的矩形面積為2a²+5ab+2b²，并標出此矩形的長和寬．

Answer 1

分析：（1）求出剪開的小長方形的長和寬，然后根據陰影部分正方形的邊長等于小長方形的長減去寬解答；
（2）方法1：用小正方形的邊長表示出面積；
方法2：用大正方形的面積減去四個小長方形的面積表示；
（3）根據兩種方法表示出的陰影部分的面積相等解答；
（4）把所給數據代入關系式計算即可得解；
（5）根據矩形的面積，用2個大正方形的和2個小正方形，5個長方形拼接成長方形即可，再根據拼接的長方形寫出長和寬．

解答：解：（1）小長方形的長為2m÷2=m，
寬為2n÷2=n，
陰影部分正方形的邊長=m-n；

（2）方法1：（m-n）²，
方法2：（m+n）²-4mn；

（3）（m-n）²=（m+n）²-4mn；
故答案為：m-n；（m-n）²，（m+n）²-4mn；（m-n）²=（m+n）²-4mn；

（4）∵a+b=7，ab=5，
∴（a-b）²=（a+b）²-4ab=7²-4×5=49-20=29；

（5）如圖所示，長為a+2b，
寬為：2a+b．

點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，數形結合，陰影部分的面積用兩種不同的方法表示是解題的關鍵．