Question

5．如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為40度．

Answer 1

分析 根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，進(jìn)而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．

解答 解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值，作DA延長(zhǎng)線AH，．
∵∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″，
∴∠MAB+∠NAD=70°，
∴∠MAN=110°-70°=40°，
故答案為：40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵