Question

1．如圖．△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D點，DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE交⊙O于F，連接DF，若tan∠EDF=$\frac{1}{2}$，求cos∠DEF的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得到AD⊥BC，而AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，于是可判斷OD為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)有OD∥AC，由于DE⊥AC，所以DE⊥OD，于是根據(jù)切線的判定定理可得到DE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)弦切角定理得到∠EDF=$\frac{1}{2}$∠DOE，求得cos∠DOE=cos2∠EDF=1-2sin²∠EDF，根據(jù)已知條件得到sin∠EDF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連結(jié)OD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠EDF=$\frac{1}{2}$∠DOE，
∴cos∠DOE=cos2∠EDF=1-2sin²∠EDF
，∵tan∠EDF=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠EDF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠DOE=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠DEF=sin∠DOE=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．