Question

6．閱讀下面材料，再解方程：
解方程x²-|x|-6=0
解：當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為x²-x-6=0，解得：x₁=3，x₂=-2（不合題意，舍去）；
當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為x²+x-6=0，解得：x₁=-3（不合題意，舍去），x₂=2；
∴原方程的根是x₁=3，x₂=2．
（1）請(qǐng)參照例題解方程x²-|x-1|-3=0；
（2）拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)m，n滿足：m²-7m+2=0，n²-7n+2=0，求：$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）分x≥1和x＜1兩種情形，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程解決．
（2）①當(dāng)m=n時(shí)，$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$=2；
②當(dāng)m≠n時(shí)，m、n是方程x²-7x+2=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）當(dāng)x≥1時(shí)，原方程化為x²-x-2=0，解得：x₁=2，x₂=-1（不合題意，舍去）；
當(dāng)x＜1時(shí)，原方程化為x²+x-4=0，解得：x₁=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$（不合題意，舍去），；
∴原方程的根是x₁=2，x₂=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$．
（2）∵m²-7m+2=0，n²-7n+2=0，
①當(dāng)m=n時(shí)，$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$=2，
②當(dāng)m≠n時(shí)，m、n是方程x²-7x+2=0的兩根，
∴m+n=7，mn=2，
∴原式=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{49-4}{2}$=$\frac{45}{2}$．
∴$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$的值為2或$\frac{45}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根與系數(shù)關(guān)系、整體代入的思想，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程解決，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想，學(xué)會(huì)利用公式恒等變形，屬于中考�？碱}型．