Question

【題目】如圖，已知矩形OABC，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，3），點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)在射線CO上運(yùn)動(dòng)，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點(diǎn)E，連接PE交AB于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若AB平分∠EBP時(shí)，求t的值.

（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以P、O、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（5，0）；（2）∴t=2；（3）存在；（0，）或（0，）．

【解析】

（1）本題需先求出AB=AE，再求出DE=5，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）本題需先求出CP=CB=2，即可求出t的值．
（3）本題需先證出△BCP∽△BAE，求出AE=t，再分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題；

解：（1）當(dāng)t=2時(shí)，PC=2，

∵BC=2，

∴PC=BC，

∴∠PBC=45°，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEB=45°，

∴AB=AE=3，

∴OE=5,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（5，0）；

（2）當(dāng)AB平分∠EBP時(shí)，

∠PBF=45°，

則∠CBP=∠CPB=45°，

∴CP=CB=2,

∴t=2；

（3）存在，

∵∠ABE+∠ABP=90°，

∠PBC+∠ABP=90°，

∴∠ABE=∠PBC，

∵∠BAE=∠BCP=90°，

∴△BCP∽△BAE，

∴ ，

∴ ，

∴ t，

∵若△POE∽△EAB，

∴ ,

∴，

∴t1= ，t2=（舍去），

∴P的坐標(biāo)為（0， ）；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，若△POE∽△EAB，則有，無(wú)解，

若△POE∽△BAE，則有：，

解得t=3+ 或3﹣（舍棄）

∴P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）．