Question

△ABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上的兩點(diǎn)．
（1）如果紙片沿直線腳折疊，使點(diǎn)A′正好落在線段AC上，如圖1，此時(shí)∠A與∠BDA′的關(guān)系是______；
（2）如果紙片沿直線DE折疊，使點(diǎn)A′落在△ABC的內(nèi)部，如圖2，試猜想∠A和∠BDA′、∠CEA′的關(guān)系是______；
（3）如果紙片沿直線DE折疊，使點(diǎn)A′落在△ABC的外部，如圖3，則此時(shí)∠A和∠BDA′、∠CEA′的關(guān)系是______，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∠BDA′=2∠A；
根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；

（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，
理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，
∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，
∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，
∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，
∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，
∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，
∴∠A=∠DA′E，
∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，
理由：如圖3，DA′交AC于點(diǎn)F，
∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，
∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，
∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，
∴∠A=∠DA′E，
∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
故答案為：（1）∠BDA′=2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
分析：（1）翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′=2∠A；
（2）根據(jù)圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）根據(jù)圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，遇到折疊的問題，一定要找準(zhǔn)相等的量，結(jié)合題目所給出的條件在圖形上找出之間的聯(lián)系則可．