Question

4．如圖，已知四邊形AEBC，對角線AB，CE為⊙O的直徑，以BC為直徑的圓與AB交與點D，連接CD，過點O作OF⊥BE于點M，OF交⊙O于點F，連接AF，交CB于點G，交BE于點N，連接EF．若∠BCD=30°．
（1）四邊形AEBC是矩形；
（2）求證：△AEG≌△CBD；
（3）△EFN與△ACO是否相似？若相似，請求出相似比；若不相似，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用直徑所對的圓周角是90°，即可求解；
（2）根據(jù)同弧（等�。┧鶎Φ膱A周角相等，和垂徑定理得出∠3=∠BCD=30°，∠2=∠1=60，由矩形性質(zhì)得出AE=BC，即可證明全等；
（3）由（2）中結(jié)論，結(jié)合直徑所對的圓周角為90°，可以得出：∠5=∠6=∠7=∠8=30°，即可證明相似；

解答 解：（1）∵AB，CE為⊙O的直徑，
∴∠CAE=∠ACB=∠CBE=90°，
∴四邊形AEBC是矩形；
（2）如圖1，

由（1）知，四邊形AEBC是矩形，
∴AE=BC，
∵以BC為直徑的圓與AB交與點D，
∴∠BDC=90°，
由∠BCD=90°，可求：∠1=60°，
∴∠2=∠1=60°，
∵OA=OE，
∴△OAE為等邊三角形，
∴∠OAE=60°，
∵OF⊥BE，
∴弧EF=弧BF，
∴∠3=∠4=30°，
∴∠3=∠BCD，
在△AEG和CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AE=BC}\\{∠3=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△CBD；
（3）如圖2
∵AB，CE為⊙O的直徑，
∴∠CAE=∠ACB=∠CBE=90°，
由（2）知∠2=∠1=60°，
可求：∠7=∠8=30°，
∴∠6=∠7=30°，
由（2）知，弧EF=弧BF，∠4=30°，
∴∠5=∠4=30°，
∴∠5=∠6=∠7=∠8=30°，
∴△EFN∽△ACO；
∴∠3=∠6=30°，
∴EF=AE，
在Rt△AEC中，∠7=30°，
∴$\frac{AE}{AC}$=tan∠7=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴兩三角形的相似比為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題主要考查圓的綜合問題，熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)，會進行三角形全等和相似的證明，熟悉矩形的判定方法，會適當運用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．