Question

12．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5$\sqrt{5}$，則BD的長(zhǎng)為2$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 作DM⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于M，連接AC，由勾股定理得出AC²=AB²+BC²=25，求出AC²+CD²=AD²，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，證出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．

解答 解：作DM⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于M，連接AC，如圖所示：
則∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC²=AB²+BC²=25，
∵CD=10，AD=5$\sqrt{5}$，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴$\frac{AB}{CM}=\frac{BC}{DM}=\frac{AC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，
∴BM=BC+CM=10，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{41}$，
故答案為：2$\sqrt{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，證明由勾股定理的逆定理證出△ACD是直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．