Question

【題目】如圖1，已知△ABC和△EFC都是等邊三角形，且點E在線段AB上．

（1）求證：BF∥AC；

（2）過點E作EG∥BC交AC于點G，試判斷△AEG的形狀并說明理由；

（3）如圖2，若點D在射線CA上，且ED＝EC，求證：AB＝AD＋BF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△AEG是等邊三角形；理由見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）如圖1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，推出△ACE≌△FCB，得到∠CBF=∠A=60°，于是得到∠CBF =∠ACB，根據(jù)平行線的判定定理即可得到AC∥BF；
（2）過E作EG∥BC交AC于G，根據(jù)等邊三角形的判定定理可證明△AEG是等邊三角形；

（3）由（2）可知∠DAE=∠EGC=120°，可證明△ADE≌△GCE，進(jìn)而得到AD=CG，再由（1）BF=AE=AG，于是可證得AB=BF+AD.

解：（1）如圖1，

∵△ABC和△EFC都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ECF=∠A= 60°，AC=BC，CE=FC，
∴∠1+∠3=∠2+∠3，
∴∠1=∠2，
在△ACE與△FCB中，

,

∴△ACE≌△FCB，
∴∠CBF=∠A =60°，
∴∠CBF =∠ACB，

∴AC∥BF；
（2）△AEG是等邊三角形，理由如下：

如圖，過E作EG∥BC交AC于G，

∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEG=∠AGE=60°，
∴△AEG是等邊三角形.
（3）如圖2，過E作EG∥BC交AC于G，

由（2）可知△AEG是等邊三角形，

∴AE=EG=AG，∠GAE=∠AGC=60°，
∴∠DAE=∠EGC=120°，
∵DE=CE，

∴∠D=∠1，
∴△ADE≌△GCE，
∴AD=CG，
∴AC=AG+CG=AG+AD，

由（1）得△ACE≌△FCB，
∴BF=AE，
∴BF=AG，
∴AC=BF+AD，
∴AB=BF+AD.